Résolution numérique fiable des systèmes d'équations polynomiales (h/f)

Résolution numérique fiable des systèmes d'équations polynomiales (H/F), Palaiseau

Informations générales

Intitulé de l'offre : Résolution numérique fiable des systèmes d'équations polynomiales (H/F)
Référence : UMR7161-GOVVAN-012
Nombre de Postes : 1
Lieu de travail : PALAISEAU
Date de publication : lundi 3 mars 2025
Type de contrat : CDD Doctorant
Durée du contrat : 36 mois
Date de début de la thèse : 1 octobre 2025
Quotité de travail : Complet
Rémunération : La rémunération est d'un minimum de 2200,00 € mensuel
Section(s) CN : 06 - Sciences de l'information : fondements de l'informatique, calculs, algorithmes, représentations, exploitations

Description du sujet de thèse

Tant en calcul formel qu'en analyse numérique, la résolution des systèmes d'équations polynomiales est un problème central. En calcul formel, ce problème est souvent abordé à l'aide de techniques dites de réécriture, telles que les bases de Gröbner ou les chaînes régulières. En analyse numérique, l'une des méthodes les plus efficaces utilise des déformations. L'idée est de construire un système « plus simple » avec les « mêmes caractéristiques ». Par exemple, pour le système
P_1(x,y) = x^2 - y^2 + x + 3 = 0
P_2(x,y) = x^2 + 2 x y + 7 y^2 - 8 y + 2 = 0, on peut prendre
Q_1(x,y) = x^2 - α_1 = 0 (α_1 = 1 + i)
Q_2(x,y) = y^2 - α_2 = 0 (α_2 = 2 - i) comme système plus simple. Les deux systèmes ont des caractéristiques proches dans le sens où deg Q_1=deg P_1=2 et deg Q_2=deg P_2=2. Par construction, les solutions (x,y) ∈ {(sqrt(α_1), sqrt(α_2)), (sqrt(α_1), -sqrt(α_2)), (-sqrt(α_1), sqrt(α_2)), (-sqrt(α_1), -sqrt(α_2))} de (2) sont faciles à obtenir. L'idée principale est de déformer en continu le deuxième système en le premier système en utilisant l'homotopie suivante :
H_1^t (x,y) = (1-t) P_1(x,y) + t Q_1(x,y) = 0
H_2^t (x,y) = (1-t) P_2(x,y) + t Q_2(x,y) = 0. Afin d'obtenir les solutions de (1), il suffit de suivre les solutions de (3) depuis t=1 jusque t=0, en utilisant une méthode numérique standard.

--- Contexte ---
Il existe une abondante littérature sur les homotopies numériques. Les problèmes pratiques ne sont généralement pas génériques, ce qui signifie qu'il peut y avoir plusieurs solutions ou trajectoires de solution z(t) qui partent à l'infini. Les stratégies spéciales, appelées phases finales, doivent être utilisées à proximité du point de référence pour faire face à des solutions multiples. Dans le cadre du projet ERC ODELIX, nous nous intéressons aux systèmes polynomiaux vérifiés par des coefficients de séries formelles tronquées, et solutions d'équations différentielles.

--- Méthodologie ---
La thèse commencera par rassembler la littérature récente sur la résolution numérique des systèmes polynomiaux, ainsi que les principales implantations logicielles. La deuxième partie de la thèse sera consacrée à des solutions non régulières et aux systèmes issus d'équations différentielles. La partie pratique de la thèse concerne l'implémentation logicielle de méthodes d'homotopie fiables. Plus précisément, nous prévoyons de travailler sur les problèmes suivants :

* Développement d'algorithmes pour l'évaluation efficace des polynômes d'entrée.
* Mise en œuvre de types de données fiables pour la certification efficace des étapes d'homotopie numérique.
* Mise au point de solveurs par homotopie multi-threads.
* Utilisation d'instructions vectorielles matérielles SIMD.

Contexte de travail

La thèse sera effectuée au laboratoire LIX (Laboratoire d'Informatique de l'École polytechnique), qui se situe dans le bâtiment Alan Turing, Palaiseau. La candidate ou le candidat disposera d'un poste de travail et de moyens pour assister à quelques conférences par an.

#J-18808-Ljbffr